$2^{x+2}+5\cdot 2^{-x} \leqslant 21$

ОДЗ: $x\in R$

$2^2 \cdot 2^x+\frac5{2^x }-21 \leqslant 0$

$4\cdot 2^x+\frac5{2^x }-21\leqslant 0$

Пусть $2^x=t, t>0$

$4t+\dfrac5t-21 \leqslant 0$

Умножим каждую часть неравенства на $t$ , знак неравенства не изменится, т.к. $t>0$

$4t^2+5-21t \leqslant 0$

$4t^2+5-21t =0$

$D=(-21)^2-4\cdot 5\cdot 4=$ $441-80=361$

$t_1=\frac{-(-21)+\sqrt{361} }{2\cdot 4}=$ $\dfrac{21+19}8=\dfrac{40}8=5$

$t_2=\dfrac{21-19}8=\dfrac28=\dfrac14$

Определим знаки:

На координатной прямой изображена парабола, отмечены корни неравенства, определены знаки

$\dfrac14 \leqslant t \leqslant 5$

$\dfrac14 \leqslant 2^x \leqslant 5$

$2^{-2} \leqslant 2^x \leqslant 2^{\log_25}$

$-2 \leqslant x \leqslant \log_25$