Задание 1265

$\log_9 (4x^2-16)-\log_9 x \leqslant$$\log_9 \left(3x+\dfrac{14}x+1\right)$

ОДЗ: $\begin{cases} x> 0 \\ 3x+\dfrac{14}x+1 >0(1) \\ 4x^2-16 >0(2) \end{cases} \Leftrightarrow$$\begin{cases} x>0 \\ x\in R \\ x< -2, x>2\end{cases}\Rightarrow x>2$

$$1) 3x+\dfrac{14}x+1 >0$$

$$3x^2+14+x=0$$

$D=1-4\cdot 3\cdot 14< 0$ $\Rightarrow$корней нет

$y = 3x^2+14+x$ - графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх $\Rightarrow 3x+\dfrac{14}x+1 >0$ при любом значении $x$.

$$2) 4x^2-16 >0$$

$$x^2-4 >0$$

$$(x-2)(x+2) >0$$

$$x_1=-2$$

$$x_2=2$$

$$x< -2, x>2$$

$\log_9 \left(\frac{4x^2-16 }{x}\right) \leqslant$$\log_9\left(3x+\dfrac{14}x+1\right)$

$$\frac{4x^2-16}{x} \leqslant 3x+\dfrac{14}x+1$$

$$\frac{4x^2-16}{x}-3x-\dfrac{14}x-1 \leqslant 0$$

$$\frac{4x^2-16-3x^2-14-x}{x} \leqslant 0$$

$$\frac{x^2-x-30}{x} \leqslant 0$$

$$x^2-x-30=0$$

$D=(-1)^2-4\cdot 30=1+120=$$121$

$x_1=\frac{-(-1)+\sqrt{121} }{2}=$$\dfrac{1+11}2=\dfrac{12}2=6$

$$x_2=\dfrac{1-11}2=\dfrac{-10}2=-5$$

$$\frac{(x-6)(x+5)}{x} \leqslant 0$$