$8\log_9 ^2 (2\sin x)-5\log_3 (2\sin x)$ $\leqslant-2$

ОДЗ: $\sin x>0$

Преобразуем $(\log_9 (2\sin x) )^2=$ $\left(\dfrac12 \cdot \log_3 (2\sin x)\right )^2=$ $\dfrac14 \cdot \log_3 ^{2}(2\sin x)$

$2\log_3 ^2 (2\sin x)-$ $5\log_3 (2\sin x)+2$ $\leqslant 0$

Пусть $\log_3 (2\sin x)=t$

$2t^2-5t+2 \leqslant 0$

$2t^2-5t+2 = 0$

$D=25-4\cdot 2\cdot 2=25-16=9$

$t_1=\frac{-(-5)+\sqrt9 }{2\cdot 2}=\dfrac{5+3}4=$ $\dfrac84=2$

$t_2=\dfrac{5-3}4=\dfrac24=\dfrac12$

На координатной прямой изображена парабола, отмечены корни неравенства, определены знаки

$\dfrac12 \leqslant t \leqslant 2$

$\dfrac12 \leqslant \log_3 (2\sin x) \leqslant 2$

$3^{\frac1{2}} \leqslant 2\sin x \leqslant 9$

$2\sin x \geqslant \sqrt3$

$\sin x \geqslant \frac{\sqrt3 }{2}$

$x_1=\arcsin \frac{\sqrt3 }{2}+2\pi k=$ $\dfrac{\pi }3+2\pi l, l\in Z$

$x_2=\pi-\dfrac{\pi }3+2\pi l=$ $\dfrac{2\pi }3+2\pi l, l\in Z$

Решение неравенства

$\dfrac{\pi }3+2\pi l \leqslant x \leqslant \dfrac{2\pi }3+2\pi l$ , $l\in Z$