Задание 5219

Так как $k\theta_0>0$, максимум амплитуды при $\tau>0$ соответствует минимуму

$$F=\frac{(T^2-\tau^2)^2+n\tau^2T^2}{\tau^4}.$$

Положим $x=1/\tau^2>0$. Тогда $F(x)=T^4x^2+(n-2)T^2x+1$. Это квадратный трёхчлен с положительным старшим коэффициентом. Его единственный глобальный минимум достигается в вершине $x_0=(2-n)/(2T^2)$. В нашем случае $0<n<2$, поэтому $x_0>0$ и вершина принадлежит области определения. При этом $F(x_0)=n(4-n)/4>0$, так что амплитуда определена и максимум действительно достигается. Возвращаясь к периоду, получаем

$$\tau=\frac{T}{\sqrt{1-n/2}}=\frac{13{,}86}{\sqrt{1-0{,}0398/2}}.$$

Вычислив это выражение, получим искомый период в секундах.