а) Решим уравнение:

$\left(\dfrac17 \right)^{2\sin 2x}=49^{\cos x}$

$7^{-2\sin 2x}=7^{2\cos x}$

$-2\sin 2x=2\cos x$

$\sin 2x=-\cos x$

$\sin 2x+\cos x=0$

$2\sin x\cdot \cos x+\cos x=0$

$\cos x (2\sin x+1)=0$

$1)\cos x=0$

$x_1=\dfrac{\pi }2+\pi n, n\in Z$

$2) 2\sin x+1=0$

$2\sin x=-1$

$\sin x=-\dfrac12$

$x_2=-\arcsin \dfrac12+2\pi l=$ $-\dfrac{\pi }6+2\pi l, l\in Z$

$x_3=\pi-\left(-\dfrac{\pi }{6}\right)+2\pi k=$ $\pi+\dfrac{\pi }6+2\pi k=\dfrac{7\pi }6+2\pi k, k\in Z$

б) Найдем корни уравнения входящих в промежуток $\left[2\pi;\frac{7\pi}{2}\right].$

Расположим корни уравнения на координатной прямой:

Корни тригонометрического уравнения на координатной прямой

В указанный промежуток входят следующие корни:

$\frac{5\pi}{2}; \frac{19\pi}{6};\frac{7\pi}{2}$