Задание 1258

а) Решим уравнение:

$(10\cos ^2 x+17\sin x-16) \cdot$$\log_4 (\cos 2x)=0$

$$1) 10\cos ^2 x+17\sin x-16=0$$

$$10(1-\sin ^2 x)+17\sin x-16=0$$

$$10-10\sin ^2 x+17\sin x-16=0$$

$$-10\sin ^2 x+17\sin x-6=0$$

$$10\sin ^2 x-17\sin x+6=0$$

Пусть $\sin x=t, |t|\leqslant 1$

$$10t^2-17t+6=0$$

$D=(-17)^2-4\cdot 10\cdot 6=$$289-240=49$

$t_1=\frac{-(-17)+\sqrt{49} }{2\cdot 10}=\dfrac{17+7}{20}=$$\dfrac{24}{20}$-не подходит, т.к. $|t|\leqslant 1$

$$t_2=\dfrac{17-7}{20}=\dfrac{10}{20}=\dfrac12$$

$$\sin x=\dfrac12$$

$x_1=\arcsin \dfrac12+2\pi n=$$\dfrac{\pi }6+2\pi n, n\in Z$

$x_2=\pi-\dfrac{\pi }6+2\pi k=$$\dfrac{5\pi }6+2\pi k, k\in Z$

$$2)\log_4 (\cos 2x)=0$$

$$\cos 2x=4^0$$

$$\cos 2x=1$$

$$2x=2\pi l$$

$$x_3=\pi l, l\in Z$$

б) Найдем корни уравнения входящих в промежуток $\left[\pi; \frac{7\pi}{2}\right]$

Расположим корни уравнения на координатной прямой:

В указанный промежуток входят следующие корни:

$$2\pi; \frac{13\pi}{6}; \frac{17\pi}{6}.$$