а) Решим уравнение:

$\frac{3}{\cos ^2 x}=4\sqrt3\tg x$

ОДЗ: $\cos ^2 x\neq 0$

$\cos x\neq 0$

$x\neq \dfrac{\pi }2+\pi n$

$\tg x$ существует при $x\neq \dfrac{\pi }2+\pi n$

$\frac{3}{\cos ^2 x}=4\sqrt3 \cdot \frac{\sin x}{\cos x}$

$\frac{3}{\cos ^2 x}-\frac{4\sqrt3 \cdot \sin x}{\cos x}=0$

$\frac{3-4\sqrt3 \cdot \sin x\cdot \cos x }{\cos ^2 x}=0$

$3-4\sqrt3 \cdot \sin x\cdot \cos x=0$

$3-2\sqrt3 \cdot \sin 2x=0$

$2\sqrt3 \cdot \sin 2x=3$

$\sin 2x=\frac3{2\sqrt3 }$

$\sin 2x=\frac{\sqrt3 }2$

$2x=\arcsin \frac{\sqrt3 }{2}+2\pi n=$ $\dfrac{\pi }3+2\pi n$

$x_1=\dfrac{\pi }6+\pi n, n\in Z$

$2x=\pi-\dfrac{\pi }3+2\pi k=\dfrac{2\pi }3+2\pi k$

$x_2=\dfrac{2\pi }6+2\pi k=\dfrac{\pi }3+\pi k, k\in Z$

б) Найдем корни уравнения входящих в промежуток $\left(\frac{\pi}{2};3\pi\right].$

Расположим корни уравнения на координатной прямой:

Корни тригонометрического уравнения на координатной прямой

В указанный промежуток входят следующие корни:

$\frac{7\pi}{6}; \frac{4\pi}{3}; \frac{13\pi}{6}; \frac{7\pi}{3}.$