Задание 1255

а) Решим уравнение:

$(3\cos x-2\sin ^2 x) \cdot$$\log_{4}(\sqrt{2} \cdot \sin x)=$\]\[0

$$1) \log_{4}(\sqrt{2} \cdot \sin x)=0$$

$$\sqrt{2\cdot } \sin x=4^0$$

$$\sqrt2 \cdot \sin x=1$$

$$\sin x=\frac1{\sqrt2 }$$

$$\sin x=\frac{\sqrt2 }{2}$$

$x_1=\arcsin \frac{\sqrt2 }2+2\pi n=$$\dfrac{\pi }4+2\pi n, n\in Z$

$x_2=\pi-\dfrac{\pi }4+2\pi k=$$\dfrac{3\pi }4+2\pi k, k\in Z$

$$2) 3\cos x-2\sin ^2 x=0$$

$$3\cos x-2(1-\cos ^2 x)=0$$

$$3\cos x-2+2\cos ^2 x=0$$

$$2\cos ^2 x+3\cos x-2=0$$

Пусть $\cos x=t, |t|\leqslant 1$

$$2t^2+3t-2=0$$

$D=9-4\cdot 2\cdot (-2)=9+16=$$25$

$t_1=\frac{-3+\sqrt{25} }{2\cdot 2}=\dfrac{-3+5}4=$$\dfrac24=\dfrac12$

$t_2=\dfrac{-3-5}4=-\dfrac84=-2$-не подходит, т.к. $|t|\leqslant 1$

$$\cos x=\dfrac12$$

$$x_3=\pm \dfrac{\pi }3+2\pi l, l\in Z$$

б) Найдем корни уравнения входящих в промежуток $\left[-\pi; 4\pi\right].$

Расположим корни уравнения на координатной прямой:

В указанный промежуток входят следующие корни:

$-\frac{\pi}{3};$$\frac{\pi}{4};$$\frac{\pi}{3};$$\frac{3\pi}{4};$$\frac{5\pi}{3};$$\frac{9\pi}{4};$$\frac{7\pi}{3};$$\frac{11\pi}{4};$$\frac{11\pi}{3}$