а) Решим уравнение:

$6\cos ^2 x+19\sin x-14=0$

$6(1-\sin ^2 x)+19\sin x-14=0$

$6-6\sin ^2 x+19\sin x-14=0$

$-6\sin ^2 x+19\sin x-8=0$

$\dfrac{\pi }6+2\pi n, n\in Z$

Пусть $\sin x=t, |t|\leqslant 1$

$D=(-19)^2-4\cdot 6\cdot 8=$ $361-192=169$

$t_1=\frac{-(-19)+\sqrt{169} }{6\cdot 2}=$ $\dfrac{19+13}{12}=\dfrac{32}{12}=\dfrac83$ -не подходит, т.к. $|t|\leqslant 1$

$t_2=\dfrac{19-13}{12}=\dfrac6{12}=\dfrac12$

$\sin x=\dfrac12$

$x_1=\arcsin \dfrac12+2\pi n=$ $\dfrac{\pi }6+2\pi n, n\in Z$

$x_2=\pi-\dfrac{\pi }6+2\pi k=$ $\dfrac{5\pi }6+2\pi k, k \in Z$

б) Найдем корни уравнения входящих в промежуток $\left[-2\pi; -\frac{\pi}{2}\right].$

Расположим корни уравнения на окружности:

Окружность на координатной прямой с обозначенными корнями тригонометрического уравнения

В указанный промежуток входят следующие корни:

$\frac{\pi}{6} - 2\pi = \frac{\pi - 12\pi}{6} = -\frac{11\pi}{6}$

$\frac{5\pi}{6} - 2\pi = \frac{5\pi - 12\pi}{6} = -\frac{7\pi}{6}$