Задание 1252

а) Решим уравнение:

$\cos 2x-5\sin x+7=$$10\sin \left(\dfrac{\pi }3-x \right)$

$\cos 2x-5\sin x+7=$$10 \left(\sin \dfrac{\pi }3 \cdot \cos x-\sin x \cdot \cos \dfrac{\pi }3 \right)$

$\cos 2x-5\sin x+7=$$10\cdot \frac{\sqrt3 }{2} \cdot \cos x-10\cdot \dfrac1{2\cdot \sin x}$

$\cos 2x-5\sin x+7=$$5\sqrt3 \cdot \cos x-5\sin x$

$$2\cos ^2 x-1+7=5\sqrt3 \cdot \cos x$$

$$2\cos^2 x - 5\sqrt{3} \cdot \cos x +6 = 0$$

Пусть $\cos x=t, |t|\leqslant 1$

$$2t^2-5\sqrt3 \cdot t+6=0$$

$D=(-5\sqrt3 )^2-4\cdot 2\cdot 6=$$25\cdot 3-48=75-48=27$

$t_1=\frac{-(-5\sqrt3 )+\sqrt{27} }{2\cdot 2}=$$\frac{5\sqrt3+3\sqrt3 }{4}=\frac{8\sqrt3 }{4}=2\sqrt3$-не подходит, т.к. $|t|\leqslant 1$

$$t_2=\frac{5\sqrt3-3\sqrt3 }{4}=\frac{2\sqrt3 }{4}=\frac{\sqrt3 }{2}$$

$$\cos x=\frac{\sqrt3 }{2}$$

$x=\pm \arccos\frac{\sqrt3 }{2}+2\pi n=$$\pm \dfrac{\pi }6+2\pi n$

б) Найдем корни уравнения входящих в промежуток $\left[-2\pi; \frac{3\pi}{2}\right].$

Расположим корни уравнения на координатной прямой:

В указанный промежуток входят следующие корни:

$-2\pi +\frac{\pi}{6} = \frac{-12\pi + \pi}{6}=-\frac{11\pi}{6};$ $-\frac{\pi}{6};$ $\frac{\pi}{6}$