Задание 1251

а) Решим уравнение:

$$\frac1{\cos x}+3=\frac{1}{\ctg^2 x}$$

ОДЗ: $1) \ctg^2 x \neq 0$

$$\ctg x \neq 0$$

$$x \neq \dfrac{\pi }2+\pi n$$

$$2) \cos x \neq 0$$

$$x \neq \dfrac{\pi }2+\pi n$$

3) $\ctg x$не существует в точках, где $\sin x=0$

$x\neq \pi n$ (везде $n\in Z$)

$$-\frac1{\ctg^2 x}+\frac{1}{\cos x}+3=0$$

$$-\tg^2 x+\frac{1}{\cos x}+3=0$$

$$-\frac{\sin ^2 x}{\cos ^2 x}+\frac{1}{\cos x}+3=0$$

$$\frac{-\sin ^2 x+\cos x+3\cos ^2 x}{\cos ^2 x}=0$$

$$-1-\cos ^2 x+\cos x+3\cos ^2 x=0$$

$$2\cos ^2 x+\cos x-1=0$$

Пусть $\cos x=t, |t| \leqslant 1$

$$2t^2+t-1=0$$

$$D=1-4\cdot 2\cdot (-1)=1+8=9$$

$t_1=\frac{-1+\sqrt9 }{2\cdot 2}=\dfrac{-1+3}4=\dfrac24=$$\dfrac12$

$$t_2=\dfrac{-1-3}4=-\dfrac44=-1$$

$$1) \cos x=\dfrac12$$

$x_1=\pm \arccos\dfrac12+2\pi n=$$\pm \dfrac{\pi }3+2\pi n$

$$2) \cos x=-1$$

$x_2=\dfrac{3\pi }2+2\pi n$-не подходит по ОДЗ.

б) Найдем корни уравнения входящих в промежуток $\left[\frac{15\pi}{2}; 9\pi\right].$

Расположим корни уравнения на окружности:

В указанный промежуток входят следующие корни:

$$8\pi +\frac{\pi}{3} = \frac{25\pi}{3};$$

$$8\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{23\pi}{3}.$$