а) Решим уравнение:

$3\sin 2x-5\cos x+6\sin x=5$

$6\sin x\cdot \cos x-$ $5\cos x+6\sin x-5=$ $0$

$6\sin x(\cos x+1)-$ $5(\cos x+1)=$ $0$

$(6\sin x-5)(\cos x+1)=0$

$1) 6\sin x-5=0$

$6\sin x=5$

$\sin x=\dfrac56$

$x_1=\arcsin \dfrac56+2\pi n$

$x_2=\pi-\arcsin \dfrac56+2 \pi k$

$2) \cos x+1=0$

$\cos x=-1$

$x_3=\pi+2\pi l$

б) Найдем корни уравнения входящих в промежуток $\left[\frac{5\pi}{2};4\pi\right]$

Расположим корни уравнения на координатной прямой:

Окружность на координатной прямой с обозначенными корнями тригонометрического уравнения

В указанный промежуток входят следующие корни:

$3\pi;$ $\pi - \arcsin\frac56 +2\pi=$ $3\pi-\arcsin\frac56$