а) Решим уравнение:

$\cos x+2\sin \left(\dfrac{\pi }3+2x\right)=$ $\sqrt3-2\sqrt3 \sin ^2 x$

$\cos x+$ $2\cdot \left(\sin \dfrac{\pi }3 \cdot \cos 2x+\right.$ $\left.\sin 2x \cdot \cos \dfrac{\pi }{3}\right)=$ $\sqrt3 ( 1-2\sin ^2 x)$

$\cos x+$ $2\cdot \left( \dfrac{\sqrt{3}}2 \cdot \cos 2x+\dfrac12 \cdot \sin 2x\right)=$ $\sqrt3 \cdot \cos 2x$

$\cos x+\sqrt3 \cdot \cos 2x+\sin 2x-\sqrt3 \cdot \cos 2x=$ $0$

$\cos x+\sin 2x=0$

$\cos x+2\sin x\cdot \cos x=0$

$\cos x(1+2\sin x)=0$

$1)\cos x=0$

$x_1=\dfrac{\pi }2+\pi n$

$2)1+2\sin x=0$

$2\sin x=-1$

$\sin x=-\dfrac12$

$x_2=\arcsin \left(-\dfrac12 \right)+2\pi n=$ $-\dfrac{\pi }6+2\pi k$

$x_3=\pi-\arcsin \left(-\dfrac1{2}\right)+2\pi n=$ $\pi+\dfrac{\pi }6+2\pi n=\dfrac{7\pi }6+2\pi l$

б) Найдем корни уравнения входящих в промежуток $\left[\frac{5\pi}{2}; 4\pi\right].$

Расположим корни уравнения на координатной прямой:

Корни тригонометрического уравнения на координатной прямой

В указанный промежуток входят следующие корни:

$\frac{5\pi}{2}; \frac{19\pi}{6}; \frac{7\pi}{2}; \frac{23\pi}{6}$