а) Решим уравнение:

$2\cdot 25^{\cos x}-5\cdot 25^{\sin \left(x+\frac{3\pi }{2}\right)}=9$

$\sin \left(x+\dfrac{3\pi }2 \right)=-\cos x$

$2\cdot 25^{\cos x}-5\cdot 25^{-\cos x}=9$

$2\cdot 25^{\cos x}-\frac{5}{25^{\cos x} }=9$

Пусть $25^{\cos x}=t$ (при условии, что $t>0$ )

$2 \cdot t-\dfrac5t=9$

Умножим обе части уравнения на $t$ :

$2t^2-5=9t$

$2t^2-9t-5=0$

$D=(-9)^2-4\cdot 2\cdot (-5)=$ $81+40=121$

$t_1=\frac{-(-9)+\sqrt{121} }{2\cdot 2}=\dfrac{9+11}4=$ $\dfrac{20}4=5$

$t_2=\dfrac{9-11}4=-\dfrac24=-\dfrac12$ -не подходит, т.к. $t>0$

$25^{\cos x}=5$

$5^{2\cos x}=5^1$

$2\cos x=1$

$\cos x=\dfrac12$

$x=\pm \arccos \left(\dfrac12 \right)+2\pi n=$ $\pm \dfrac{\pi }3+2\pi n$

б) Найдем корни уравнения входящих в промежуток $\left[\frac{\pi}{2}; 2\pi\right].$

Расположим корни уравнения на координатной прямой:

Корни тригонометрического уравнения на координатной прямой

В указанный промежуток входят следующие корни:

$\frac{5\pi}{3}$