а) Решим уравнение:

$2\cos 4x-4\sin x\cdot \cos x=0$

$\cos 4x-2\sin x\cdot \cos x=0$

$\cos 4x-\sin 2x=0$

$1-2\sin ^2 2x-\sin 2x=0$

Пусть $\sin 2x=t$

$1-2t^2-t=0$

$2t^2+t-1=0$

$D=1-4\cdot 2\cdot (-1)=1+8=9$

$t_1=\frac{-1+\sqrt9 }{2\cdot 2}=\dfrac{-1+3}4=\dfrac24=$ $\dfrac12$

$t_2=\dfrac{-1-3}4=-\dfrac44=-1$

$1) \sin 2x=\dfrac12$

$2x=\arcsin \left(\dfrac12 \right)+2\pi n=$ $\dfrac{\pi }6+2\pi n$

$x_1=\dfrac{\pi }{12}+\pi n$

$2x=\pi - \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) +2\pi k=$ $\pi - \frac{\pi}{6} +2\pi k=\frac{5\pi}{6} +2\pi k$

$x_2 = \frac{5\pi }{12} + \pi k$

$2) \sin 2x=-1$

$2x=\dfrac{3\pi }2+2\pi l$

$x_3=\dfrac{3\pi }4+\pi l$

б) Найдем корни уравнения входящих в промежуток $\left[2\pi; \frac{7\pi}{2}\right].$

Расположим корни уравнения на координатной прямой:

Корни тригонометрического уравнения на координатной прямой

В указанный промежуток входят следующие корни:

$\frac{25\pi}{12}; \frac{29\pi}{12};\frac{11\pi}{4};\frac{37\pi}{12}; \frac{41\pi}{12}$