а) Решим уравнение:

$\frac{2}{\sin ^2 x}+\frac{6}{\cos \left(\dfrac{3\pi }2+x\right)}=-4$

ОДЗ: 1) $\sin x\neq 0$

$x\neq \pi n$

2) $\cos\left(\frac{3\pi}{2} +x\right) \neq0$

$\sin x\neq0$

$\frac{2}{\sin ^2 x}+\frac{6}{\sin x}=-4$

$\frac{2+6\sin x}{\sin ^2 x}=-4$

$2+6\sin x=-4\sin ^2 x$

$4\sin ^2 x+6\sin x+2=0$

$2\sin ^2 x+3\sin x+1=0$

Пусть $\sin x=t$

$2t^2+3t+1=0$

$D=3^2-4\cdot 2=9-8=1$

$t_1=\dfrac{-3-1}{2\cdot 2}=-\dfrac44=-1$

$t_2=\dfrac{-3+1}4=-\dfrac24=-\dfrac12$

$1) \sin x=-1$

$x_1=\dfrac{3\pi }2+2\pi n$

$2) \sin x=-\dfrac12$

$x_2=\arcsin \left(-\dfrac12 \right)+2 \pi k=$ $-\dfrac{\pi }6+2\pi k$

$x_3=\pi -\left(-\frac{\pi}{6}\right) +2\pi l=$ $\dfrac{7\pi }6+2\pi l$

б) Найдем корни уравнения входящих в промежуток $\left[-\frac{\pi}{2}; 2\pi\right].$

Расположим корни уравнения на координатной прямой:

Корни тригонометрического уравнения на координатной прямой

В указанный промежуток входят следующие корни:

$-\frac{\pi}2;-\frac{\pi}6; \frac{7\pi}{6}; \frac{3\pi}{2}; \frac{11\pi}{6}$