а) Решим уравнение:

$4\cos 2x-14\cos x+9=0$

Распишем $\cos 2x$ по формуле косинуса двойного угла:

$4(2\cos ^2 x-1)-14\cos x+9=0$

$8\cos ^2 x-4-14\cos x+9=0$

$8\cos ^2 x-14\cos x+5=0$

Пусть $\cos x=t$

$8t^2-14t+5=0$

$D=(-14)^2-4\cdot 5\cdot 8=$ $196-160=36$

$t_1=\frac{-(14)+\sqrt{36} }{2\cdot 8}=\dfrac{14+6}{16}=$ $\dfrac{20}{16}$ -этот корень не подходит, т.к. $|\cos x|\leqslant 1$

$t_2=\dfrac{14-6}{16}=\dfrac8{16}=\dfrac12$

$\cos x=\dfrac12$

$x= \pm\arccos\dfrac12 +2\pi n=\pm \dfrac{\pi }3+2\pi n$

б) Найдем корни уравнения входящих в промежуток $\left[2\pi;\frac{7\pi}{2}\right].$

Расположим корни уравнения на координатной прямой:

Корни тригонометрического уравнения на координатной прямой

В указанный промежуток входят следующие корни:

$\frac{7\pi}{3}$