а) Решим уравнение:

$1+\sin \left(\dfrac{\pi }4-x \right)=$ $\cos ^2 x+\frac{\sqrt2 }{2}\cdot \cos x$

Распишем $\sin \left(\dfrac{\pi }4-x \right)$ согласно формуле сложения, а $\cos^2 x$ согласно основному тригонометрическому тождеству:

$1+\sin \dfrac{\pi }4 \cdot \cos x-\cos \dfrac{\pi }4 \cdot \sin x=$ $1-\sin ^2 x+\frac{\sqrt2 }{2}\cdot \cos x$

$1+\frac{\sqrt2 }{2}\cdot \cos x-\frac{\sqrt2 }{2}\cdot \sin x=$ $1-\sin ^2 x+\frac{\sqrt2 }{2}\cdot \cos x$

$-\frac{\sqrt2 }{2}\cdot \sin x=-\sin ^2 x$

$\sin ^2 x-\frac{\sqrt2 }{2}\cdot \sin x=0$

$\sin x \left(\sin x-\frac{\sqrt2 }{2}\right)=0$

$\sin x=0$

$x_1=\arcsin 0=\pi n$

$\sin x-\frac{\sqrt2 }{2}=0$

$\sin x=\frac{\sqrt2 }{2}$

$x_2=\arcsin \left(\frac{\sqrt2 }{2}\right)=\dfrac{\pi }4+2\pi k$

$x_3=\pi - \frac{\pi}{4} +2\pi n = \dfrac{3\pi }4+2\pi l$

б) Найдем корни уравнения входящих в промежуток $\left[\frac{5\pi}{2}; 4\pi\right]$

Расположим корни уравнения на координатной прямой:

Корни тригонометрического уравнения на координатной прямой

В указанный промежуток входят следующие корни:

$\frac{11\pi}{4}; 3\pi; 4\pi$