Введем обозначения и проведем диагональ основания:

Куб с проведенной диагональю (ввведены обозначения и проведенадиагональ основания)

Пусть длина ребра куба равна $a$

Объем куба вычисляется по формуле: $V_{\text{куб}} = a^3$

$\triangle ABD$ - прямоугольный $\Rightarrow$ по теореме Пифагора $BD=\sqrt{AB^2 +AD^2}=$ $\sqrt{a^2 +a^2}=\sqrt{2a^2}=a\sqrt{2}$

$\triangle B_1BD$ - прямоугольный $\Rightarrow$ по теореме Пифагора $B_1D=\sqrt{B_1B^2 +BD^2}=$ $\sqrt{a^2 +(a\sqrt{2})^2}=\sqrt{a^2 +2a^2}=$ $\sqrt{3a^2}=a\sqrt{3}$

$a\sqrt{3} = \sqrt{108}$

$a\sqrt{3} = \sqrt{36\cdot 3}$

$a\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$

$a = 6$

$V_{\text{куб}} = 6^3 = 216$